III. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ОКРУЖНОСТЬЮ, И ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ, РАЗРЕЗАННОЙ ВДОЛЬ ДУГ ОКРУЖНОСТИ

Совершенно аналогично предыдущему можно весьма просто решить важнейшие граничные задачи для круга и для бесконечной плоскости с круговым отверстием. Решение первой, второй и смешанной задач для этих случаев, а также для более общего случая, который будет рассмотрен в следующем отделе, было дано И. Н. Карцивадзе в кандидатской диссертации, часть которой опубликована в статьях [1, 2], где для краткости рассматривается лишь случай конечной области, так как в случае бесконечной области решения получаются вполне аналогично. В § 121 —123 излагаются результаты И. Н. Карцивадзе, относящиеся к области, ограниченной окружностью.

В § 124 я указываю решение основных задач для бесконечной области с разрезами вдоль дуг окружности.

§ 121. Преобразование общих формул для области, ограниченной окружностью.

Пусть окружность радиуса 1, с центром в начале координат, и пусть круг, ограниченный этой окружностью, а остальная часть плоскости (за вычетом

Пусть упругое тело занимает одну из областей Введем полярные координаты соотношением

и обозначим, как в § 39, через компоненты напряжения в полярных координатах. Формулы, выражающие эти компоненты через функции и (§ 39), мы запишем теперь так:

Напомним еще формулу

выражающую компоненты смещения (в декартовых координатах) через функции связанные с и соотношениями и присоединим к ней формулу

получаемую из формулы (3) дифференцированием по в этой формуле

Функции и голоморфны в рассматриваемой области или В случае, когда рассматриваемая область есть функции и при больших имеют вид:

где при прежних обозначениях

Пользуясь много раз применявшимися обозначениями (см. § 76), распространим определение функции первоначально определенной в (или в ) также на область положив в области т. е. при (или )

Заменяя в предыдущей формуле, справедливой по условию, при (или при величину z на считая теперь (или ), получаем:

откуда, переходя к сопряженным значениям, выводим:

Так как компоненты напряжения и смещения выражаются через функции и то их можно выразить, пользуясь формулой (10), и через одну функцию определенную уже на всей плоскости (за вычетом линии

В случае, когда область, занятая телом, есть функция голоморфна как в так и в включая бесконечно удаленную точку; последнее следует из формулы (9). Однако поведение на

бесконечности должно быть подчинено некоторым условиям для того, чтобы соответствующая ей функция была голоморфной в Действительно, пусть

Тогда, выражая, что функция определяемая формулой (10), голоморфна также и при легко получаем требуемое условие:

В дальнейшем мы будем считать это условие выполненным.

В случае, когда область, занятая телом, есть функция голоморфна как в (включая бесконечно удаленную точку), так и в кроме точки где она может иметь полюс. Действительно, формула (9) вместе с формулами (5), (6) показывает, что вблизи точки

Компоненты напряжения будут выражены через функцию формулами (1) и (2), если в последней подразумевать под выражение (10). Для того чтобы придать этой последней формуле вид, удобный для наших целей, заметим, что в силу (10)

внося предыдущее выражение в формулу (2), получаем:

где в правой части под следует подразумевать выражение (10). Аналогично из формулы (4) получаем:

где, как и в предыдущей формуле, под подразумевается выражение (10) и по-прежнему

В дальнейшем мы будем предполагать, что функция непрерывно продолжима на из и из кроме, быть может, конечного числа точек на вблизи которых

кроме того, мы будем считать, что для всех точек на за исключением, быть может, точек

Легко видеть на основании формулы (10), что в силу этого условия будем иметь также:

за исключением, быть может, значений

Если на имеется незагруженный участок т. е. если на имеем то, как показывает формула (14), на Следовательно, значения вне и внутри аналитически продолжают друг друга через незагруженные участки границы, как в случае полуплоскости. Именно для достижения этого свойства и было выбрано определение (9) функции в (или в

При помощи предыдущих формул легко решить ряд основных граничных задач для круга, подобно тому, как это было сделано в предыдущих параграфах для полуплоскости.