§ 43. О сосредоточенных силах, приложенных к границе.

В предыдущем мы подчиняли решения уравнений плоской теории упругости тем или иным условиям, обеспечивающим, в частности, непрерывность выражения

вплоть до границы области. Не надо думать, что требование непрерывности выражения (1) вплоть до границы принадлежит к числу условий чисто математического характера, обычно налагаемых с целью упрощения рассуждений. Условие, о котором здесь идет речь, имеет существенное механическое значение и может быть выражено так: главный вектор усилий, приложенных с определенной стороны к данной, произвольно-расположенной дуге, стремится к нулю вместе с длиной этой дуги. Посмотрим, что произойдет в одном из простейших случаев нарушения этого условия.

Рис. 18.

Пусть некоторая дуга, принадлежащая границе области, и пусть выражение (1) непрерывно продолжимо на все точки дуги за исключением одной лишь точки С этой дуги. Мы знаем (§ 29, п. 3), что при этом условии граничные значения выражения (1) будут непрерывны вдоль за исключением, быть может, точки С. Будем считать для простоты, что точка С является точкой разрыва первого рода для граничных значений выражения (1) и что сама функция непрерывно продолжима на все точки дуги включая точку С Пусть

обозначает скачок граничного значения выражения (1) при переходе через С, если двигаться по в положительном направлении (оставляя область слева).

Вырежем мысленно из тела бесконечно малую часть и подсчитаем главный вектор внешних усилий, действующих на дугу (рис. 18) границы оставшегося тела. Этот главный вектор по

формуле (2) § 33 определяется равенством

Сближая точки получаем в пределе:

Главный момент (относительно начала координат) тех же усилий, как легко подсчитать по формуле (4) § 33, равен в пределе:

где х, у обозначают координаты точки С. Значит, усилия, приложенные к бесконечно малому контуру эквивалентны одной конечной силе приложенной к точке компоненты этой силы определяются формулами (2).

Таким образом, точку разрыва С выражения (1) на контуре, обладающую указанными выше свойствами, следует рассматривать как точку приложения сосредоточенной силы определяемой формулами (2). О сосредоточенных силах вообще см. еще § 57.