§ 34. Степень определенности введенных функций.

Перейдем теперь к изучению важного вопроса о том, насколько определены функции заданием напряженного состояния тела или же заданием смещений: точек тела.

Начнем с вопроса о степени определенности этих функций при заданном напряженном состоянии. Выражаясь более подробно, вопрос заключается в следующем. Пусть компоненты напряжения при некотором заданном состоянии упругого равновесия тела. Как было показано в § 32, существуют функции комплексного переменного 2, связанные с соотношениями

Мы спрашиваем себя: определяются ли вполне функции а также функции

заданием компонент или в выборе их остается некоторый произвол? Какова степень этого произвола?

Ответить на эти вопросы не представляет никакого затруднения. Пусть какая-либо другая система функций, связанных с заданными компонентами и друг с другом теми же соотношениями (1), (2), (3), что и функции

Посмотрим, чем могут отличаться функции от функций

Сопоставляя соотношение (1) с (1), убеждаемся, что функции и имеют одинаковые действительные части; значит, функции эти могут различаться только произвольной, чисто мнимой постоянной так что

где С — действительная постоянная.

Отсюда на основании соотношений (3) и (3) следует:

где произвольная комплексная постоянная.

Замечая дальше, что в силу и сопоставляя соотношения (2) и (2), получаем очевидно:

и, наконец, на основании (3) и (3)

где произвольная комплексная постоянная. Таким образом, мы имеем следующий результат.

При заданном напряженном состоянии функция определена вполне, функция с точностью до слагаемого функция с точностью до слагаемого и функция с точностью до слагаемого у, где С — действительная, а у — произвольные комплексные постоянные.

Очевидно, что, обратно, напряженное состояние не изменится, если

где С — действительная, а — комплексные произвольные постоянные. При этом функция очевидно, заменяется на остается без изменения.

Перейдем теперь к выяснению вопроса о том, в какой мере уменьшается произвол в выборе рассматриваемых функций, если заданы компоненты смещения

Задание компонент смещения вполне определяет компоненты напряжения. Поэтому ясно, что при заданных компонентах смещения мы не можем производить замены, отличной от замены типа Посмотрим, влияет ли эта замена на компоненты смещения, определяемые, как мы видели в § 32, формулой

Непосредственная подстановка показывает, что при указанной замене

где

Следовательно, полагая имеем:

Здесь

Мы видим, что добавочные члены имеют вид:

где

и выражают попросту жесткое перемещение тела как целого. Этот результат следовало, конечно, предвидеть заранее, так как смещения, соответствующие данному напряженному состоянию, определены с точностью до жесткого перемещения тела как целого.

Формула (8) показывает, что замена вида может быть произведена без изменения смещений только в том случае, если

Следовательно, при заданных смещениях нельзя произвольно задавать постоянные ; если, например, произвольно задать одну из постоянных этим исчерпывается весь произвол.

Произвольным постоянным, входящим в наши функции, можно придавать, в зависимости от удобства, те или иные определенные значения.

Предполагая для определенности, что начало координат находится в области занятой телом, мы можем выбирать эти произвольные постоянные, например, следующим образом.

При заданных напряжениях, когда все три постоянные находятся в нашем распоряжении, мы можем выбирать их так, чтобы

Первое достигается подходящим выбором у, второе — подходящим выбором С, третье — подходящим выбором

Условия (14), очевидно, не оставляют уже никакого произвола в выборе функций

При заданных смещениях мы можем подходящим выбором постоянных или достигнуть того, чтобы по произволу

Любым из этих двух условий вполне фиксируются обе функции Заметим еще следующее. Очевидно, что задание выражения

вполне определяет напряженное состояние тела

Выясним теперь вопрос, какому условию должны удовлетворять постоянные для того, чтобы при замене не изменялось не только напряженное состояние, но и значение выражения (16).

Легко убедиться, что при замене выражение это заменяется на

Следовательно, если выражение - задано, то мы должны иметь Значит, мы можем произвольно выбрать С и одну из величин . Мы можем, например, положить:

и это вполне фиксирует функции и