§ 35. Общие формулы для конечной многосвязной области.

Обратимся теперь к случаю, когда область занятая телом, многосвязна, и начнем с рассмотрения конечной области.

Согласно сказанному в § 29 мы будем предполагать, что область ограничена несколькими простыми замкнутыми контурами из которых последний охватывает все предыдущие, как показано на рис. 16 (пластинка с отверстиями); предполагается, что эти контуры не имеют общих точек

Напомним, что по условию компоненты напряжения и смещения — однозначные функции. Несмотря на это, функции могут оказаться в нашем случае многозначными. Заметим, однако, что на основании сказанного в предыдущих параграфах эти функции будут голоморфны и, следовательно, однозначны в любой односвязной части, выделенной из области занятой телом. Таким образом, функции являются аналитическими (см. § 29, п. 4, примечание) в области

Исследуем теперь характер многозначности наших функций. Прежде всего формула

показывает, что действительная часть функции однозначна (так как однозначна, по условию, левая часть равенства). Но это еще не значит,

что и мнимая часть ее однозначна. А именно, при однократном обходе (например, против часовой стрелки) какого-либо замкнутого контура охватывающего один из контуров эта мнимая часть может испытать приращение вида где действительная постоянная. Вместо постоянных мы введем другие действительные постоянные А полагая

Рассмотрим теперь функцию

где обозначают постоянные точки, произвольно выбранные внутри контуров (т. е. вне области рис. 16).

Рис. 16.

Так как при обходе (против часовой стрелки) вокруг контура получает приращение то выражение прирастает как раз на величину остальные же члены под знаком суммы в формуле (1) возвращаются к прежним значениям. Следовательно, функция вернется к прежнему значению при обходе по любому замкнутому контуру в области

Итак, имеем:

где голоморфная и, следовательно, однозначная функция в области

Далее, для функции получаем:

где произвольная постоянная точка области

Но интеграл

представляет собой функцию комплексного переменного z, которая при обходе вокруг одного из контуров может получить приращение вида

где постоянная, вообще комплексная (множитель введен для удобства). Следовательно, аналогично предыдущему можно написать:

Внося это выражение в предыдущую формулу и соединяя вместе члены вида получаем:

где функция, голоморфная в области некоторые (вообще комплексные) постоянные.

Наконец, на основании формулы

убеждаемся, что голоморфная функция. Отсюда для функции

следует аналогично предыдущему, что

где некоторые (вообще комплексные) постоянные, а голоморфная функция.

Напишем еще формулу для

Совершенно аналогично предыдущему будем иметь:

где вообще комплексные постоянные, голоморфная функция в области

До сих пор мы не обращали внимания на условие однозначности смещений. Выразим теперь это условие. По формуле (1) § 32 имеем:

Подставляя в эту формулу найденные выше выражения для непосредственно убеждаемся, что

где символ означает приращение выражения, заключенного в скобки, при обходе контура против часовой стрелки.

Значит, для однозначности смещений необходимо и достаточно, чтобы в формулах было

Покажем теперь, что величины могут быть очень просто выражены через величины где означает главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру усилий, приложенных к со стороны внешней по отношению к нормали (рис. 16).

Вычислим этот главный вектор. С этой целью мы можем воспользоваться формулой (2) § 33, которая очевидно справедлива и в рассматриваемом здесь случае многосвязной области лишь бы контур фигурирующий в упомянутой формуле, был целиком расположен в Формулу эту можно применять и в случае, когда контур целиком или частично принадлежит границе области, если сделать некоторые предположения относительно поведения функций вблизи границы (об этом будет подробно сказано в § 42).

Здесь же мы можем обойтись без каких-либо дополнительных предположений, заменив рассмотрение усилий, приложенных к рассмотрением усилий, приложенных с надлежащей стороны (а именно, со стороны, обращенной в сторону контура к любому замкнутому контуру расположенному в охватывающему контур и не охватывающему других контуров, составляющих границу (рис. 16). Главный вектор последних усилий не зависит от выбора контура если только контур этот удовлетворяет указанным условиям. Это очевидно по механическим соображениям и вытекает также из приводимой ниже формулы (8). В частности контур может быть взят сколь угодно близким к контуру

Исходя из этого, естественно, не налагая никаких условий на поведение функций вблизи контура принять, что по определению главный вектор внешних усилий, приложенных к есть главный вектор усилий, приложенных к с надлежащей стороны.

Аналогичное определение можно дать и для главного момента.

Формула (2) § 33, примененная к замкнутому контуру дает

где на этот раз контур обходится в направлении часовой стрелки, так как направление обхода должно быть выбрано так, чтобы рассматриваемые усилия действовали на контур справа.

Приняв это во внимание, легко получим на основании формул (3) и (4):

Мы видим, что, как и следовало ожидать, главный вектор не зависит от выбора контура если этот контур один раз охватывает контур и не охватывает других контуров, составляющих границу области

Из формул (7) и (8) получаем:

Принимая во внимание предыдущие формулы (а также и то, что можем написать формулы (3) и (4) в следующем окончательном виде: