§ 92. Основные формулы, связанные с конформным отображением на полуплоскость.
При решении задач теории упругости для полубесконечных областей удобнее применять отображение не на круг, а на полуплоскость.
Так же, как при отображении на круг, удобно ввести на плоскости z упругого тела криволинейные координаты, связанные с отображением.
Рис. 46а.
Рис. 46б.
Будем по-прежнему обозначать нашу область через 
а ее границу через 
Пусть
— соотношение, отображающее 
на нижнюю половину плоскости т. е. на полуплоскость 
так, чтобы конечным точкам соответствовали конечные.
Прямым 
принадлежащим этой полуплоскости, соответствуют, очевидно, некоторые разомкнутые линии в области 
уходящие обоими концами в бесконечность; эти линии мы будем обозначать через 
Точно так же полупрямым 
которые принадлежат нижней половине плоскости соответствуют в 
линии 
начинающиеся на 
и уходящие в бесконечность (рис. 46а, 466).
Так как каждой паре величин 
при 
соответствует в области 
вполне определенная точка 
плоскости z, мы можем рассматривать 
как криволинейные координаты на плоскости 
Линии 
образуют ортогональную сеть координатных линий.
Пусть 
некоторая точка области 
Проведем из z касательные к линиям 
проходящим через нее, соответственно в сторону возрастания ! и 
Эти касательные, которые мы также будем обозначать через 
будут осями криволинейных координат в точке z (рис. 46а); все это совершенно аналогично тому, что было сказано в § 49.
Пусть А — некоторый вектор с началом в точке 
и пусть 
его проекции на оси 
проекции на оси 
Имеем, как в § 49:
где а — угол, составляемый осью 
с осью Ох и отсчитываемый от Ох в положительном направлении.
Для вычисления 
придадим точке z смещение 
в направлении касательной 
тогда соответствующая точка 
получит смещение 
в направлении оси 
на плоскости Имеем, очевидно:
откуда выводим:
Итак, имеем формулу
Будем обозначать через 
компоненты смещения по отношению к осям 
криволинейных координат, а через 
компоненты напряжения по отношению к тем же осям. Имеем на основании формулы (2):
компоненты смещения по отношению к осям 
Связь компонент напряжения 
с компонентами 
выражается формулами (§ 8):
причем, на основании формулы (3)
Выражения компонент смещения и напряжения через функции комплексного переменного 
мы можем найти совершенно так, как в § 50, если условимся обозначать через
то, что в начале главы II (а также в начале этого отдела) было обозначено через
и положим, как в § 50:
Пользуясь теперь формулами, выражающими компоненты 
через функции 
, (§ 32), и формулами (5), (3), получим без всякого труда
Выражение для 
легко получим, пользуясь формулой (4) и формулой
Наконец, складывая формулы (7) и (8), получим еще одну полезную формулу:
