ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ОБ ИНТЕГРАЛАХ ТИПА КОШИ

В последующих главах будут широко использоваться так называемые интегралы типа Коши. Систематическое изложение свойств этих интегралов можно найти в книге автора [25], но для удобства читателя, желающего ограничиться лишь теми сведениями, которые действительно необходимы понимания дальнейшего, мы даем их в настоящей главе. Некоторые предложения мы приводим без доказательств; эти доказательства можно найти в упомянутой книге автора или в книге И. И. Привалова [1]. Кроме того, в настоящей главе дается ряд элементарных формул и предложений, имеющих значение для практики и не содержащихся в упомянутых книгах.

I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ

§ 65. Некоторые обозначения и термины.

1. В дальнейшем (если противное не оговорено) под мы будем подразумевать либо простой замкнутый гладкий контур на плоскости либо простую разомкнутую конечную гладкую дугу на этой плоскости, либо, наконец, совокупность конечного числа раздельно лежащих таких разомкнутых дуг и замкнутых контуров (рис. 30). Мы будем называть простой гладкой линией, часто опуская слова «простая» и «гладкая», которые всегда будут подразумеваться.

Рис. 30.

Таким образом, линия может состоять из раздельно расположенных частей. Если в состав входят разомкнутые дуги, то концы этих дуг мы будем называть концами линии

Мы будем всегда считать, что на выбрано определенное положительное направление; в случае если состоит из раздельных частей, это значит, что положительное направление выбрано на каждой из этих частей.

Если из какой-либо точки (простой, гладкой) линии не совпадающей с ее концами, описать круг достаточно малого радиуса, то он разобьется линией на две части, одна из которых будет расположена слева

от а другая — справа (по отношению к наблюдателю, смотрящему вдоль положительного направления, выбранного на рис. 30). В соответствии с этим мы можем различать «левую» и «правую» окрестности каждой точки расположенной на и не совпадающей с ее концами. Например, левая окрестность точки состоит из точек, не расположенных на и принадлежащих левой части круга достаточно малого радиуса, описанного из как из центра.

Аналогично мы можем различать левую и правую окрестности любой части линии концы которой не совпадают с концами Под частью линии мы всегда, как и раньше, будем подразумевать часть, состоящую из (конечного числа) разомкнутых дуг, взятых на или замкнутых контуров, входящих в состав

Левую и правую окрестности мы будем различать соответственно знаками (+) и

2. Напомним и отчасти дополним сказанное в § 29. Пусть какая-либо функция, заданная в окрестности линии но не на самой этой линии, и будем считать, что непрерывна в этой окрестности. Пусть некоторая точка линии не совпадающая с ее концами (если таковые имеются). Мы будем говорить, что функция непрерывно продолжила на точку слева (справа), если стремится к определенному пределу, когда z стремится к по любому пути, оставаясь, однако, все время слева (справа) от Пределы функции при слева или справа мы будем обозначать соответственно через

и будем называть их граничными значениями функции соответственно слева или справа.

Эти обозначения, как и термин «граничное значение», мы будем применять исключительно в тех случаях, когда соответствующие пределы существуют при стремлении по любому пути слева или справа от иначе говоря, когда функция непрерывно продолжима на слева, или справа.

Пусть некоторая часть концы которой (если таковые имеются) не совпадают с концами Мы будем говорить, что функция непрерывно продолжима на слева (или справа), если существуют пределы для всех точек принадлежащих

Как было уже упомянуто в § 29, если функция непрерывно продолжима на слева (или справа), то функция непрерывна на Отсюда следует, что если к левой (или правой) окрестности линии (подразумевается левая или правая окрестности относительно

линии присоединить саму линию и приписать функции значения на то функция будет непрерывной в левой (или правой) окрестности, к которой присоединена сама линия

3. Пусть некоторая, вообще комплексная, функция точки линии

где некоторые действительные функции точки на

В дальнейшем через мы будем по-прежнему обозначать как саму точку, так и аффикс этой точки, т. е. считать где х, у — координаты точки

Мы будем говорить, что удовлетворяет на условию Гёльдера или, короче, условию если для каждых двух точек линии имеет место неравенство

где некоторые положительные постоянные, причем ; А называется постоянной Гёльдера, а показателем Гёльдера. Легко видеть, что условие (2) эквивалентно условию

где В — некоторая положительная постоянная, а длина дуги линии заключенной между и в случае, когда принадлежат замкнутому контуру, входящему в состав под подразумевается кратчайшая из двух дуг, соединяющих и если состоит из нескольких раздельных частей, то следует подразумевать, что условие (3) выполняется для любой пары точек, расположенных на одной и той же части

Если в неравенстве (2) или то, как легко видеть, производная по дуге линии равна нулю; поэтому в этом случае на или, если состоит из раздельных частей, на каждой из этих частей. Этот случай интереса не представляет; поэтому-то мы ограничили условием

Замечание. Если для данной точки контура имеет место неравенство

выполняющееся для всех на достаточно близких к то говорят, что удовлетворяет условию на в данной точке это еще не значит, что удовлетворяет условию в окрестности точки что имеет место неравенство (2) для любых двух точек из некоторой окрестности точки на

4. В дальнейшем мы будем иногда применять следующие известные обозначения. Пусть обозначает переменную величину, пробегающую некоторое множество значений и стремящуюся к (или к Тогда будет обозначать такую величину, что отношение остается ограниченным при достаточно малых (достаточно больших) значениях Иными словами, при указанных значениях

где С — конечная постоянная. Далее, будет обозначать такую величину, что отношение сколь угодно мало (по модулю), когда достаточно мало (достаточно велико); точнее:

где с — положительная величина, зависящая лишь от и стремящаяся к нулю при

Например, если удовлетворяет условию в окрестности точки то это условие можно записать так:

для всех точек достаточно близких к

Отметим еще один частный случай указанных обозначений. Рассмотрим выражение где а — некоторое действительное число. По определению, отношение а остается ограниченным, когда В частности, при выражение обращается в Таким образом, обозначает величину, остающуюся ограниченной при достаточно малых (достаточно больших) значениях Аналогично о (1) обозначает величину, стремящуюся к нулю при точнее: где зависит лишь от модуля при

Например, то обстоятельство, что функция непрерывна на можно записать так:

при