§ 28. Приведение к случаю отсутствия объемных сил.

Решение уравнений плоской теории упругости значительно упрощается в случае отсутствия объемных сил, т. е. когда . С другой стороны, общий случай всегда можно свести к этому последнему: для этого достаточно найти одно какое-нибудь частное решение системы уравнений (1), (2) § 27. Пусть это частное решение. Полагая

видим, что функции удовлетворяют тем же уравнениям, что и но при

Что касается нахождения частного решения то мы укажем здесь такие решения лишь для двух видов объемных сил, которые почти исключительно и встречаются на практике: это случаи силы тяжести и силы инерции при (равномерном) вращении вокруг оси, перпендикулярной к плоскости деформации.

При отыскании частных решений можно, смотря по удобству, пользоваться или системой уравнений в напряжениях (1), (7) § 27, или системой уравнений в смещениях (4) § 27. Для примера мы прибегнем к первому способу в случае силы тяжести и ко второму в случае силы инерции.

Рассмотрим сперва случай силы тяжести. Считая, что ось Оу направлена вертикально вверх, будем иметь: где ускорение силы тяжести, плотность, которую мы считаем постоянной.

Поэтому уравнения (1) и (7) § 27 примут вид:

Ясно, что предыдущим уравнениям можно удовлетворить, полагая, например,

Смещения, соответствующие этому частному решению, вычисляются по указанному выше правилу. Именно, формулы (8) § 27 дают:

Подставляя эти значения в соотношение

получаем уравнение

которому можно удовлетворить, полагая, например,

Таким образом, для смещений получим:

Перейдем теперь ко второму из намеченных случаев и воспользуемся на этот раз системой (4) § 27.

Если тело равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости проходящей через О, то сила инерции (центробежная сила), отнесенная к единице объема, будет дана формулами

где — угловая скорость. Поэтому система (4) § 27 примет вид:

Легко догадаться, что этим уравнениям можно удовлетворить выражениями вида:

Действительно, подставляя эти выражения в предыдущие уравнения, увидим, что оба будут удовлетворены, если

или

Отсюда видно, что мы можем еще произвольно распорядиться одной из величин Мы можем, например, положить:

и тогда будет:

Соответствующие напряжения будут даны формулами: