II. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОТОБРАЖАЕМЫХ НА КРУГ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА

Как уже было сказано, интегралы типа Коши дают возможность получить не только теоретическое, но и практическое решение основных задач для некоторых довольно обширных классов областей. Основным исходным пунктом являются при этом формулы (10) или (16) § 78 или аналогичные формулы, которые будут указаны ниже. Особенно простым является случай, когда отображающая функция рациональная; решение в этом случае получается совершенно элементарным путем, как будет показано ниже. Но для большей наглядности мы начнем с непосредственного решения задач для некоторых простейших областей.

Большая часть излагаемых в этом отделе результатов содержится в работах автора [4, 5, 7, 8].

§ 80. Решение первой основной задачи для круга.

Эта задача уже была решена нами в § 54 при помощи рядов. Интегралы типа Коши приводят к цели быстрее и дают решение, более удобное для приложений.

Пусть радиус нашего круга есть окружность круга обозначим через . В нашем случае можем взять

мы применяем здесь и в дальнейшем обозначения § 78. В частности, у будет обозначать окружность точку на этой окружности.

Граничное условие в нашем случае запишется так:

или, если перейти к сопряженным значениям,

Считая для определенности, что и учитывая, что правая часть равенства

должна быть граничным значением некоторой функции голоморфной внутри у и обращающейся в нуль при получаем, применяя формулу (12) § 76:

что приводит к функциональному уравнению

Предыдущее уравнение есть не что иное, как функциональное уравнение (10) § 78 для случая, когда приведенный здесь вывод представляет собой повторение вывода § 78 применительно к этому частному случаю.

В рассматриваемом здесь случае функциональное уравнение решается весьма просто, без всякого перехода к интегральному уравнению, так как интегральный член в левой части вычисляется непосредственно в конечном виде.

В самом деле, рассмотрим разложение функции выписав только первые три его члена (больше нам не понадобится):

отсюда

следовательно, на основании формулы (17) § 76 будем иметь:

Таким образом, из формулы (4) получаем:

Последнее соотношение и определяет функцию с точностью до выражения Остается определить не известные пока постоянные Для этого следует выразить условие, что постоянные представляют собой коэффициенты разложения (5) при соответственно. Выразим эти условия. Для этого достаточно положить в уравнениях, полученных из соотношения (6) дифференцированием по один и два раза, и принять во внимание, что по определению Это дает соответственно:

Последняя формула определяет постоянную

Формула (7) дает, если положить

Этому условию возможно удовлетворить лишь в случае, когда правая часть — действительная величина, т. е. когда

Это условие разрешимости задачи выражает, как и следовало ожидать, условие равенства нулю главного момента внешних усилий [ср. § 54, формула (3)].

Если это условие удовлетворено, то действительная часть вполне определится формулой (7), а мнимая, как и следовало ожидать, останется произвольной; полагая для определенности эту мнимую часть равной нулю, на основании формулы (7) получаем:

Окончательно имеем:

где определяются формулами (10) и (8).

Найдя можно сразу определить функцию ибо ее граничное значение (а) дается формулой (3). Определяя по формуле Коши и принимая во внимание, что

получаем:

Легко видеть, что полученное решение будет наверлое регулярным (в смысле § 42), если заданная на контуре функция имеет производную, удовлетворяющую условию

Таким образом, задача решена. Заметим, что последние члены в правых частях формул и (12) можно отбросить, ибо постоянные слагаемые в выражениях для никакого влияния на напряжения не имеют. Мы вычислили эти постоянные слагаемые только с той целью, чтобы иметь также решение «основной бигармонической задачи», где постоянные слагаемые имеют значение.

Если отбросить упомянутые постоянные, то вместо формул (11) и (12) будем иметь более простые формулы:

В этом случае граничное значение выражения

может отличаться от постоянным слагаемым. Если же взять формулы (11) и (12), то упомянутое граничное значение будет в точности равно

Полученное решение очень удобно для практики, как это станет ясным из приводимых в следующем параграфе примеров.