I. ОДНОРОДНАЯ СРЕДА С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ

Наиболее эффективные способы решения граничных задач плоской теории упругости, использующие аппарат теории функций комплексного переменного, основываются на возможности построения в простой аналитической форме (в виде полинома или рациональной функции) функции, реализующей точно или приближенно конформное отображение данной области на единичный круг. По этой причине методы теории функций оказываются все еще мало приспособленными к эффективному решению задач для многосвязных областей.

Тем не менее для некоторых частных классов многосвязных областей удается построить достаточно эффективные решения, о чем будет сказано в следующих параграфах.

§ 151. Эффективные решения граничных задач для двусвязных областей. Метод Д. И. Шермана.

За последнее время был разработан способ эффективного построения решений граничных задач плоской теории упругости для некоторого класса двусвязных областей. Этот класс включает в себя конечные и бесконечные области, ограниченные двумя замкнутыми контурами специального вида. Условием, определяющим упомянутый класс областей, служит требование, чтобы для односвязной области, внешней либо внутренней по отношению к одному из замкнутых контуров, входящих в состав полной границы и содержащей внутри себя второй контур, изучаемая задача допускала эффективное решение.

Таким образом, полная граница области может состоять из окружностей, эллипсов, правильных многоугольников с закругленными вершинами и т. п.

Метод, о котором идет речь, был предложен Д. И. Шерманом [28, 24]. Этот метод, примененный в его первоначальном виде к решению задач кручения и изгиба упругих брусьев, был впоследствии использован в задачах о плоской деформации. При подборе конкретных примеров особое внимание уделялось специальным вопросам плоской теории упругости, представляющим интерес для математического исследования проблем горного дела. В частности, в связи с этими проблемами был рассмотрен ряд конкретных задач о весомых средах в виде плоскости и полуплоскости, ослабленных двумя отверстиями.

Отверстия в весомой полуплоскости при использовании рассматриваемого здесь метода Д. И. Шермана следует считать расположенными на значительном расстоянии от прямолинейной границы. При таком предположении можно по выделении так называемых начальных напряжений отказаться от точного удовлетворения условий на границе полуплоскости. Это позволяет при определении дополнительных напряжений, обусловленных наличием вырезов, заменить полуплоскость без заметного искажения картины напряженного состояния вблизи отверстий всей плоскостью комплексного переменного.

Дадим краткое описание метода. Предположим, что рассматриваемая упругая, изотропная и однородная среда заполняет конечную или бесконечную двусвязную область ограниченную линией состоящей из двух простых, не имеющих общих точек, замкнутых контуров В случае конечной области будем считать внешней границей среды, внутренней. Задача сводится к определению в области голоморфных функций по граничному условию (см. § 41; мы несколько изменяем обозначения)

где заданная непрерывная функция на (в § 41 она обозначена через подчиненная в случае конечной области условию

постоянные, подлежащие определению. В случае, когда конечная область, одну из постоянных можно выбирать произвольно. В случае бесконечной области, если считать решения исчезающими на бесконечности, обе постоянные определяются единственным образом.

Предлагаемый способ позволяет свести рассматриваемую задачу для двусвязной области к вспомогательной задаче для односвязной области, а затем после решения этой последней — к уравнению Фредгольма для вспомогательной функции, вводимой только на одном из

контуров или Для некоторого важного класса задач это уравнение Фредгольма с практической точки зрения значительно проще, чем другие известные уравнения Фредгольма, построенные другими методами.

Рассмотрим для определенности случай конечной области и введем вспомогательную функцию определенную на одном из контуров, скажем, на согласно равенству

Складывая и вычитая почленно равенства (1) (при и (2), получим, считая

Доопределим искомые функции положив их вне контура равными нулю. Предыдущие равенства на основании известных формул предельного перехода в интегралах типа Коши позволяют утверждать, что голоморфные в области функции определяемые соотношениями:

где

аналитически продолжимы через контур таким образом, представляют собой функции, регулярные всюду вне контура В этих вновь введенных функциях граничное условие (1) на контуре примет вид:

где некоторый линейный оператор.

Равенство (4) представляет собой граничное условие первой основной задачи для бесконечной односвязной области ограниченной контуром при некоторой, пока неизвестной правой части эту задачу мы будем называть вспомогательной. Будем временно считать функцию заданной и допустим, кроме того, что и могут быть эффективно найдены по граничному условию (4). Предполагая процесс определения и выполненным, можно считать эти функции представленными в форме некоторых вполне определенных операторов, зависящих от со

Подставляя, далее, соответствующие значения в равенство (2), получаем искомое соотношение для определения вспомогательной функции со При определенных предположениях относительно контура это соотношение будет представлять собою интегральное

уравнение Фредгольма второго рода. В частности, это будет иметь место, если область, ограниченная контуром может быть конформно отображена на круг при помощи рациональной функции и если вспомогательная задача решается методом Мусхелишвили. Уравнение не будет содержать неизвестной величины точнее, оно будет ее содержать в виде определенного функционала от искомой функции

Мы не будем заниматься здесь исследованием полученного интегрального уравнения, требующим отдельного рассмотрения случаев конечной и бесконечной областей. Отсылая за подробностями к названным выше работам Д. И. Шермана, отметим только, что этим путем оказалось возможным довести решение до конца для обширного класса случаев.

Упомянутое выше интегральное уравнение Фредгольма решается во всех рассмотренных конкретных случаях посредством сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения в комплексный ряд Фурье. Исследование получающейся при этом системы, составляющее, как правило, весьма существенную часть решения задачи, показывает, что эта система во всех рассмотренных случаях регулярна при любых относительных размерах области. В случае, когда границы не очень близки одна к другой, система оказывается вполне регулярной и допускает применение метода последовательных приближений.