§ 60. Многозначные смещения в случае кругового кольца.

Возвратимся теперь к общему случаю и выясним, к какому результату приведут нас формулы § 59, если мы отбросим условие однозначности смещений, которое выражается формулами (4) § 59:

Если эти условия отброшены, тогда граничные условия (2) § 59 недостаточны для полного определения функций -; некоторые из коэффициентов разложений этих функций окажутся не вполне определенными и будут содержать известное число произвольных постоянных, о чем будет сказано подробнее ниже. Зафиксировав произвольным образом эти постоянные, мы получим определенные выражения для и удовлетворяющие всем условиям задачи, за исключением условия однозначности смещений. А именно, если мы опишем замкнутый путь выходящий из некоторой точки z, огибающий внутреннюю окружность против часовой стрелки и снова возвращающийся в z (рис. 29), то приращение выражения и при обходе этого пути, представится формулой

вытекающей из формулы (6) § 35 (мы ввели здесь обозначения § 59).

Мы уже видели (§ 45), что, несмотря на многозначность смещений, нашему решению можно приписать определенный и весьма простой физический смысл.

Прежде всего решение это имеет самый обычный смысл, если мы станем применять его не к целому кольцу, а к части, полученной удалением из него полосы, ограниченной двумя линиями идущими от внутренней окружности к внешней (на рис. 29 удаленная часть заштрихована). Тогда мы будем иметь односвязное тело «круговой брус», ограниченный двумя круговыми дугами и линиями В этой односвязной части функции будут уже однозначными. Функции соответствуют некоторому определенному состоянию упругого равновесия бруса, при котором внешние напряжения, приложенные к круговым границам, имеют заранее заданные значения, а именно те, которые фигурировали в

граничных условиях § 59 при решении задачи для сплошного кольца. Что же касается внешних напряжений, приложенных к краям то они могут быть вычислены по функциям при помощи не раз уже применявшихся формул. Задача о равновесии кругового бруса будет рассмотрена в следующем параграфе.

Вернемся к случаю сплошного кольца. Мы видели в § 45, что рассматриваемое решение, допускающее многозначные смещения, соответствует особому виду деформации, называемому дислокацией. Опишем эту деформацию применительно к нашему частному случаю, отчасти повторяя сказанное в § 45.

Рис. 29.

Проведем купюру соединяющую внутреннюю окружность с внешней, и будем различать на этой купюре края (+) и (-), как показано на рис. 29. Тогда при обходе по замкнутому контуру ведущему от некоторой точки рассматриваемой как принадлежащей краю (-), к той же точке, рассматриваемой как принадлежащей краю компоненты смещения получат согласно формуле (2) следующие приращения:

где положено:

обозначают смещения точки рассматриваемой как принадлежащей соответственно краям (+) и

В соответствии со сказанным в § 45 многозначность смещений в нашем решении можно интерпретировать предположением, что из кольца до его деформации была удалена (узкая) поперечная полоска с краями (рис. 29) и что по удалении оставшиеся свободными края были спаяны. При этом предполагается, что до деформации края были конгруэнтны и расположены так, что край получается из края путем жесткого поворота этого последнего (вокруг начала координат) на угол и жесткого поступательного перемещения При спайке должны быть совмещены те точки краев, которые совмещаются друг с другом при только что упомянутом жестком перемещении.

Напомним, что, как было сказано в § 45, величины не зависят ни от формы купюры ни от ее положения в кольце; в нашем случае это непосредственно вытекает из формул (4). Значит, та поперечная полоска, которую надо предварительно вырезать из кольца, может быть взята в любом месте кольца; один ее край, например может быть взят

любой формы в любом месте, и тогда положение другого края определится величинами

Напомним еще, что об «удалении» полоски мы говорим лишь условно, так как на самом деле иногда фактически мы имеем дело с прибавлением или с удалением в одной части и прибавлением в другой.

Величины представляют собой согласно принятой в § 45 терминологии характеристики дислокации. Согласно сказанному в упомянутом параграфе, задание этих величин вместе с заданием внешних напряжений, приложенных к контурам вполне определяет деформацию рассматриваемого тела. В нашем случае это обстоятельство проверяется непосредственно, ибо, как легко видеть, указанные задания вполне определяют все коэффициенты разложений функций и действительно, эти коэффициенты могут быть определены совершенно так же, как в § 59, с той только разницей, что условия (4) § 59, т. е. условия однозначности смещений

заменяются теперь более общими условиями (4) при заданных

Мы проведем вычисление коэффициентов разложений функций и в том частном случае, когда внешняя нагрузка отсутствует (т. е. на ). В этом случае все величины равны нулю.

Формулы (4) дают:

Последнее равенство вместе с равенством получаемым из уравнения (15) § 59, дает:

Далее, из формулы (7) § 59 следует:

наконец, из второго уравнения (12), а также из уравнений (5) и (6) (при того же параграфа, получаем:

Все остальные коэффициенты равны нулю. Итак, имеем:

где коэффициенты имеют только что указанные значения.

В частном случае, когда (эти равенства характеризуют однозначность смещений), мы будем иметь: что и следовало предвидеть, ибо, как мы знаем (§ 40), если смещения однозначны, то при отсутствии внешней нагрузки тело не может находиться в напряженном состоянии.

Если внешняя нагрузка не равна нулю, то соответствующее решение можно получить, налагая только что полученное решение (8) на решение, полученное в § 59 в предположении однозначности смещений.

Как уже было сказано в § 45, интерпретация многозначных смещений в случае кругового кольца была впервые указана Тимпе (Timpe [1]); им же найдены формулы, эквивалентные формулам, полученным в настоящем параграфе.

Возвращаясь к дислокации, соответствующей формулам (8), заметим, что ее можно разбить на три простейшие, соответствующие случаям:

1°. . Эту дислокацию получим, например, вырезав из кольца радиальный клин с прямолинейными краями и углом раствора и спаяв кольцо так, чтобы соединение прямолинейных краев достигалось жестким поворотом одного из них на угол е.

2°. . Эту дислокацию получим, например, если разрежем кольцо вдоль положительной оси х, произведем жесткое скольжение нижнего края по верхнему на величину а и снова спаяем соприкасающиеся части. Такую же дислокацию получим, если вырежем вдоль положительной оси Оу полоску ширины а и спаяем кольцо, приведя в соприкосновение прямолинейные края, подвергнув их жесткому поступательному перемещению параллельно оси

3°. . Этот случай получим из предыдущего, меняя ролями оси

Таким образом, нам достаточно иметь формулы, относящиеся, например, к случаям 1° и 3°. Приводим эти формулы и выражения компонент напряжения в полярных координатах, которые получаются из формул (4) — (8) путем элементарных выкладок, подобных тем, которые мы уже не раз производили. Вместо х мы подставляем значение

В случае тонкой пластинки (§ 26) надо вместо X подставить

До сих пор мы считали, что внешняя нагрузка отсутствует. При произвольной внешней нагрузке решение получится наложением предыдущих решений на решение с однозначными смещениями (§ 59).