114. Способы построения графика квадратичной функции

Графиком функции , где является парабола

(см. п. 113). Для ее построения на практике используются три способа.

Первый способ — отыскание координат вершины параболы по формулам.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Здесь . Значит, . Итак, (1; —1) — вершина параболы. Для построения графика надо знать координаты еще нескольких точек:

Отметив вершину параболы, полученные точки и точки, симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график (рис. 59, а). Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не следует. Достаточно воспользоваться тем, что если — абсцисса вершины параболы, то в этой точке (см. п. 217). Из уравнения находим — абсцисса вершины параболы.

Второй способ — построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена .

Пример 2. Построить график функции

Решение. Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена, т. е. равную пяти. Для этого решим уравнение Имеем:

Итак, мы нашли две точки графика Отметим их на координатной плоскости (рис. 59, б). Мы знаем, что графиком является парабола. Точки А и В лежат на этой параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки А и В симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку через его середину. Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна четырем, то уравнение оси параболы: Подставив значение в формулу получим Значит, вершина С параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, имеет координаты Отметив на координатной плоскости точку построим параболу, проходящую через три точки

А, В, С. Это и будет график функции (рис. 59, б). (Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.)

Третий способ — построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть — корни квадратного трехчлена (о решении уравнения см. п. 137). Тогда парабола, служащая графиком функции , пересекает ось абсцисс в точках ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку через его середину. Зная абсциссу вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрий параболы, поэтому найдем по формуле с ее ординату, а затем построим параболу по трем точкам А, В, С.

Пример 3. Построить график функции

Решение. Из уравнения — находим . Значит, мы знаем две точки искомой параболы: . Уравнение оси симметрии параболы таково: . Подставив значение 3 вместо х в формулу находим Значит, вершиной параболы служит точка . По трем точкам А, В и С строим параболу — график функции (рис. 59, в).