80. Линейная функция.

Линейной функцией называется такая функция, которая задана формулой где — действительные числа. Если, в частности, то получаем постоянную функцию то получаем прямую пропорциональность

Перечислим свойства линейной функции при

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2) Функция ни четна, ни нечетна.

3) При функция возрастает, а при убывает на всей числовой прямой.

Т.3.2. Графиком линейной функции является прямая.

Доказательство

Если то получаем постоянную функцию ее графиком является прямая, параллельная оси х (см. п. 78).

Если то получаем прямую пропорциональность ее графиком по теореме 3.1 является прямая, проходящая через начало координат (см.

Пусть Если точка принадлежит графику функции (т. е. выполняется равенство то точка принадлежит графику функции (т. е. выполняется равенство Но преобразование фигуры при котором произвольная ее точка переходит в точку является параллельным переносом (см. п. 112), а при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую.

Итак, графиком функции является прямая, параллельная графику прямой пропорциональности

На рисунке 17 изображен график функции Это прямая, параллельная прямой, служащей графиком функции и проходящая через точку на оси ординат.

Число называется угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла а между прямой и положительным лучом оси .

Пример. Построить график функции

Решение. Графиком линейной функции является прямая, а для построения прямой достаточно знать две точки графика. Заполним таблицу:

(аргументу х дали значения 0 и 4 и по формуле нашли соответствующие значения Отметим на координатной плоскости точки (0; 4) и (4; 2) и проведем через эти точки прямую (рис. 18).