Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
222. Применение производной для доказательства неравенств.
Пример 1. Доказать, что при справедливо неравенство
Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную: Замечаем, что на интервале (0; 1) производная значит, функция убывает на этом интервале (см. п. 216). Поэтому, в частности, при справедливо неравенство . Но
Итак, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что если то а .
Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную Замечаем, что т. е.
функция возрастает на всей числовой прямой. Значит, из вытекает
Пример 3. Доказать, что при всех х справедливо неравенство
Решение. Рассмотрим функцию и исследуем ее на экстремум. Имеем:
при других критических точек у функции нет (уравнение не имеет корней). при при значит, - точка минимума функции. Поскольку других точек экстремума у данной непрерывной функции нет, то — наименьшее значение функции (см. утверждение 2° из . Но
справедливо неравенство
и найдем ее производную: 
Замечаем, что на интервале (0; 1) производная 
значит, функция 
убывает на этом интервале (см. п. 216). Поэтому, в частности, при 
справедливо неравенство 
. Но 
что и требовалось доказать.
то а 
.
и найдем ее производную 
Замечаем, что 
т. е.
возрастает на всей числовой прямой. Значит, из 
вытекает 
и исследуем ее на экстремум. Имеем:
при других критических точек у функции нет (уравнение 
не имеет корней). 
при 
при 
значит, 
- точка минимума функции. Поскольку других точек экстремума у данной непрерывной функции нет, то 
— наименьшее значение функции (см. утверждение 2° из 
. Но 
