150. Иррациональные уравнения.

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональными являются уравнения

Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в степень:

в) учитывая, что , получают уравнение

г) решают уравнение и делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в шестую степень, получим откуда

Проверка. Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим:

далее

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка. 1) При имеем:

Таким образом, является корнем заданного уравнения. Таким образом, — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3. Решить уравнение . Решение. Применим метод введения новой переменной. 1 1 Положим Тогда и мы получаем уравнение откуда находим Теперь задача свелась к решению двух уравнений: Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим откуда

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.