159. Уравнения с параметром.
Пусть дано равенство с переменными 
Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение
называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а — это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при х (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при 
при остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются 
При 
уравнение принимает вид 
. Это уравнение не имеет корней. При 
данное уравнение принимает вид 
корнем его служит любое действительное число. При 
уравнение можно преобразовать к виду 
откуда находим 
Таким образом, если 
, то уравнение не имеет корней; если 
то корнем служит любое действительное число; если 
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Выделим особо значение параметра 
. Дело в том, что при 
данное уравнение не является квадратным, а при 
оно квадратное. Значит, решать его в каждом из этих случаев надо по-своему. При 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
. В случае а 
для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается 
в нуль. Имеем 
Значит, 
значение параметра, на которое нам надо обратить внимание.
Если 
и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней; если 
, то 
и мы получаем:
если 
, то 
и мы получаем 
Итак, если 
то действительных корней нет; если 
, то
Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение. Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня 
его дискриминант должен быть положительным. Имеем:
Значит, должно выполняться неравенство 
. По теореме Виета имеем:
Поскольку по условию 
то 
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183): 
из второго: 
из третьего: 
. С помощью координатной прямой (рис. 72) находим, что либо 
либо 
