45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 136 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр и наклонная Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, — проекция наклонной на плоскость а.

Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.

Т. 2.12. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).

На рисунке 137 к плоскости а проведены перпендикуляр и наклонная . Прямая а, лежащая в плоскости а, перпендикулярна — проекции наклонной на плоскость а. По Т. 2.12 прямая а перпендикулярна наклонной Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной то по Т. 2.12 она была бы перпендикулярна и ее проекции —

Пример. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр (рис. 138). Найти расстояние от точки D до гипотенузы

Решение. Проведем По условию — перпендикуляр к плоскости, т. е. наклонная, — ее проекция, поэтому по теореме о трех перпендикулярах из условия следует, что

Из находим т. е. Для отыскания высоты в находим

С другой стороны, откуда

Из по теореме Пифагора