146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители.

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение где — многочлен степени Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: , где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение принимает вид . Если а — корень уравнения то потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, а — корень хотя бы одного из уравнений

Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений , то — корень уравнения , т. е. уравнения

Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда Значит, либо либо Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней. Ответ: -2.

Метод разложения на множители применйм к любым уравнениям вида , где необязательно многочлен; пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Имеем значит, либо либо Из уравнения находим из уравнения находим

Но не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.