181. Графическое решение неравенств второй степени.

Графиком квадратичной функции с является парабола с ветвями, направленными вверх, если и вниз, если При этом возможны три случая: парабола пересекает ось х (т. е. уравнение имеет два различных корня), парабола имеет вершину на оси х (т. е. уравнение имеет один корень), парабола не пересекает ось (т. е. уравнение не имеет корней). Итого возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции относительно оси они представлены на рисунках 80—81. Опираясь на эти графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Уравнение имеет два корня: Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 80, а. Неравенство выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси это будет

при или при

Значит, решения неравенства таковы: (см. пример 1 из

Пример 2. Решить неравенство Решение. Уравнение имеет два корня: Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 80, а. Неравенство выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат на оси х или ниже ее: это будет при х из промежутка Значит, множество решении неравенства есть отрезок (см. пример 2 из п. 180).

Пример 3. Решить неравенство — Решение. Уравнение — имеет один корень Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке Неравенство — выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси х. Таких точек нет, значит, неравенство не имеет решений.

Пример 4. Решить неравенство Решение. Уравнение — не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 81, в. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат ниже оси х. Поскольку вся парабола лежит ниже оси х, то неравенство выполняется при любых значениях х.