§ 3. Действительные числа

20. Иррациональные числа.

Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, т. е. не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называются иррациональными. Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 (рис. 2, а) должна выражаться некоторым положительным числом таким, что (по теореме Пифагора, см. с. 281), т. е. таким, что . Число не может быть целым, так как Число не может быть и дробным: если — несократимая

дробь, где то тоже будет несократимой дробью, где значит, не является целым числом, а потому не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается (читается: «Квадратный корень из двух»). На рисунке 2, б изображена координатная прямая — квадрат, Тогда координатой точки С является число , а координатой точки D — число — 2. Обе точки С и D имеют иррациональные координаты.

Аналогично не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются —

Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число , выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби — это иррациональное число.

Так как любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби (см. и в свою очередь любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число (см. то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь есть иррациональное число.