§ 2. Основные свойства простейших геометрических фигур

4. Отрезок.

На прямой а (рис. 7, а) взяты точки А, Б и С. Точка В лежит между точками А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точкой С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

На рисунке 7, б отрезок является частью прямой а. Точка М лежит между точками А и Б, а поэтому принадлежит отрезку точка К не лежит между точками А и В, поэтому не принадлежит отрезку

Аксиома (основное свойство) расположения точек на прямой формулируется так:

. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Следующая аксиома выражает основное свойство измерения отрезков.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Это значит, что если на отрезке взять любую точку С, то длина отрезка равна сумме длин отрезков и (рис. 7, в).

Длину отрезка называют также расстоянием между точками М и К.

Пример 1. На прямой даны три точки О, Р и М. Известно, что . Лежит ли точка Р между О и М? Может ли точка В принадлежать отрезку если ? Объяснить ответ.

Решение. Точка Р лежит меледу точками О и М, если Проверим выполнение этого условия: Вывод: точка Р лежит между точками О и М.

Точка В принадлежит отрезку если она лежит между точками Р и М, т. е. Проверим: см, а по условию см. Вывод: точка В не принадлежит отрезку РМ.

Пример 2. Можно ли на плоскости расположить 6, 7 и 8 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими?

Решение. 6 отрезков расположить так можно (рис. 8, а). 8 отрезков так расположить тоже можно (рис. 8, б). 7 отрезков так расположить нельзя.

Докажем последнее утверждение. Предположим, что такое расположение семи отрезков возможно. Занумеруем отрезки и составим такую таблицу в клетке на пересечении строки и столбца поставим если отрезок пересекается с если не пересекается. Если то тоже ставим Подсчитаем двумя способами, сколько знаков в таблице.

С одной стороны, в каждой строке их 3, поэтому всего знаков . С другой стороны, таблица заполнена симметрично относительно диагонали:

если в клетке стоит то в клетке тоже. Значит, общее количество знаков должно быть четным. Получили противоречие.

Здесь мы воспользовались доказательством методом от противного.