ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ

§ 21. Введение понятия вектора

79. Параллельный перенос.

Введем на плоскости декартовы координаты. Преобразование плоской фигуры при котором произвольная ее точка переходит в точку где а и — постоянные, называется параллельным переносом на плоскости.

На рисунке 229 фигура получена из фигуры F параллельным переносом. Точка переходит при этом преобразовании в точку Параллельный перенос задается формулами Эти формулы выражают координаты точки , в которую переходит точка при параллельном переносе.

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка фигуры F переходит в точку , где и с — постоянные. Параллельный перенос в пространстве задается формулами

На рисунке 230 призма при параллельном переносе переходит в призму

Сформулируем некоторые свойства параллельного переноса:

1. Параллельный перенос есть движение.

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3. При параллельном переносе прямая переходцт в параллельную прямую (или в себя).

4. Каковы бы ни были две точки А и существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку

5. Преобразование, обратное параллельному переносу, есть

параллельный перенос. Композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос.

6. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Пример 1. Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Доказать, что отрезок, концами которого являются середины оснований трапеции, равен полуразности оснований.

Решение. Пусть — основания трапеции — середина — середина При параллельном переносе в направлении полупрямой на расстояние точка В переходит в точку М, точка А переходит в точку При параллельном переносе в направлении полупрямой на расстояние точка С переходит в точку М, точка D — в точку (рис. 231). Тогда

Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Но значит,

Так как то — медиана образовавшегося прямоугольного треугольника Поэтому

Учитывая равенство (3), получаем: