Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на промежутке X, если для любого х из X выполняется равенство F'(x) = f(х).
Примеры.
1. Пусть Тогда первообразная имеет вид так как
2. Пусть Тогда первообразная имеет вид так как
Для функции в примере 1 мы нашли первообразную . Это не единственное решение задачи. Так, в качестве первообразной можно было взять и функцию (поскольку и функцию (поскольку и вообще любую функцию вида
Так же обстоит дело в примере 2, где в качестве первообразной можно было взять любую функцию вида Справедлива следующая теорема:
Т.7.7. Если — первообразная для функции на промежутке X, то у функции бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид где С — произвольная постоянная (основное свойство первообразной).
Пример. Найти общий вид первообразных для функции где
Решение. Одной из первообразных будет функция так как . Значит, общий вид первообразных:
Тогда первообразная 
имеет вид 
так как 
Тогда первообразная 
имеет вид 
так как 
в примере 1 мы нашли первообразную 
. Это не единственное решение задачи. Так, в качестве первообразной можно было взять и функцию 
(поскольку 
и функцию 
(поскольку 
и вообще любую функцию вида 
Справедлива следующая теорема:
— первообразная для функции 
на промежутке X, то у функции 
бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид 
где С — произвольная постоянная (основное свойство первообразной).
где 
так как 
. Значит, общий вид первообразных:
