230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Рассмотрим плоскую фигуру Ф, представляющую собой множество точек координатной плоскости лежащее в полосе между прямыми имеющее в своем составе точки с абсциссами и ограниченное сверху и снизу графиками непрерывных на функций

таких, что для всех х из справедливо неравенство Примеры таких фигур представлены на рисунках 123—127. В частности, фигура, изображенная на рисунке 124, а, ограничена сверху графиком функции снизу — прямой Такая фигура называется криволинейной трапецией,

Площадь фигуры Ф вычисляется по формуле

В частности, для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 124, а, получаем:

а для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 124, б, получаем:

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 125. Воспользовавшись формулой (2), получим:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 126. По формуле (1) получим:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Построив прямую и параболу (см. п. 114), получим фигуру, площадь которой требуется вычислить (рис. 127). Значит, где пределы интегрирования суть абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для отыскания этих абсцисс решим уравнение откуда

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Фигура, площадь которой требуется найти, изображена на рисунке 128 (см. п. 158). Проведем прямую Тогда площадь интересующей нас фигуры равна сумме где — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 128 горизонтальной штриховкой, — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 128 вертикальной штриховкой.

Имеем

Значит,