54. Шар.

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем

данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние — радиусом шара. На рисунке 166 изображен шар с центром в точке О и радиусом R. Заметим, что точки А, В, М, D и О принадлежат данному шару. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. На рисунке 166 точки А, В и D принадлежат сфере, а, например, точка М ей не принадлежит. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси (рис. 167).

Т. 3.5. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Если шар с центром О и радиусом R пересечен плоскостью а, то в сечении по Т. 3.5 получается круг радиуса с центром К. Радиус сечения шара плоскостью можно вычислить по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскость к центру шара, т. е. чем меньше расстояние . Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью. На рисунке 168 плоскость а является диаметральной плоскостью, круг радиуса R является большим кругом шара, а соответствующая окружность — большой окружностью.

Т. 3.6. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 169).

Т. 3.7. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной (рис. 169).

Т. 3.8. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара,

расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 170).

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 171).