Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).
Если , то справедливы следующие тождества:
В самом деле, имеем:
Итак, рационально выражаются через поэтому подстановка и называется универсальной. Она может быть использована в уравнении вида , где — рациональное выражение относительно
Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при , то нужно проверять, не являются ли числа вида решениями заданного уравнения. Пример 1. Решить уравнение
Решение. Выражая через по формулам (1) и полагая придем к рациональному уравнению
Решив это уравнение, получим Из уравнения находим:
Проверкой убеждаемся, что значения не удовлетворяют заданному уравнению. Итак, получаем ответ:
Пример 2. Решить уравнение . Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой. Выражая через и полагая получим рациональное уравнение
откуда Из уравнения находим
Однако нужно еще проверить, не удовлетворяют ли заданному уравнению те значения х, при которых
т. е. значения Имеем:
Проверка показывает, что значения являются решениями уравнения. Итак, заданное уравнение имеет следующие решения: