§ 20. Предел функции

203. Предел функции y=f(x) при х->оо.

Горизонтальная асимптота. Число называется пределом функции при стремлении если, какое бы число ни взять, найдется число такое, что для всех выполняется неравенство Пишут:

Геометрически это означает, что график функции при выборе достаточно больших значений X безгранично приближается к прямой (рис. 95), т. е. расстояние от точки графика до прямой по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа Прямая называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции

Возьмем для примера функцию Для этой функции имеем . Замечаем, что, чем больше выбирается значение аргумента, тем меньше отличается от нуля значение функции, причем это

отличие можно сделать меньше любого наперед заданного положительного числа е. Значит, Это подтверждается и геометрически: прямая является горизонтальной асимптотой графика функции (рис. 96).

Прямая может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при выборе достаточно больших по модулю, но отрицательных значений аргумента (рис. 97). Тогда говорят, что число является пределом функции при стремлении и пишут: Например, (рис. 98).

Наконец, прямая может быть горизонтальной асимптотой графика функции при и при Так, прямая горизонтальная асимптота графика функции (рис. 99). В этом случае говорят, что число является пределом функции при стремлении и пишут: Так, верны равенства

Число называется пределом функции при стремлении

если, какое бы число ни взять, найдется число , такое, что для всех выполняется неравенство

Число называется пределом функции при стремлении , если, какое бы число ни взять, найдется число , такое, что для всех таких, что выполняется неравенство

Зная предел функции при можно построить горизонтальную асимптоту графика (если предел равен — горизонтальная асимптота); обратно: если известна горизонтальная асимптота графика функции, можно сделать вывод о ее пределе при (если — горизонтальная асимптота, то