39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.

При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Пример 1. Округлить число с точностью до: а) десятков; б) единиц; в) десятых; г) сотых; д) тысячных.

Решение, а) Цифра единиц, следующая за разрядом десятков, равна 1, т. е. меньше 5. Значит, округлив до десятков, имеем а «2470. Знак называют знаком приближенного равенства.

б) Цифра десятых равна 0, значит, округлив до единиц, имеем а «2471.

в) Цифра сотых равна 5, значит, округлив до десятых, имеем а «2471,1.

г) Цифра тысячных равна 6, значит, округлив до сотых, имеем а «2471,06.

д) Цифра десятитысячных равна 2, значит, округлив до тысячных, имеем

Все найденные значения называются приближенными значениями числа .

Приближенные значения появляются не только при округлении чисел. Чаще они возникают при различных измерениях (длин, масс, температур и т. д.). При этом важно знать, с какой точностью выполнено измерение.

Пусть а — приближенное значение числа Тогда модуль разности чисел а и а, т. е. называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример 2. Взвесив деталь, масса которой равна на весах с ценой деления шкалы получили приближенное значение массы Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.

Решение. Абсолютная погрешность равна

Относительная погрешность равна

При измерениях, как правило, точные значения величин

бывают неизвестны, поэтому важны сведения об абсолютных погрешностях приближенных значений. Если, например, деталь массы взвесили на весах с ценой деления шкалы то это значит, что абсолютная погрешность измерения будет не более Так, если, взвесив деталь, получили то точное значение массы может отклоняться от 54,1 в ту или иную сторону не более чем на т. е. Короче это записывают так:

Вообще если абсолютная погрешность приближенного значения а, найденного для интересующего нас числа а, не превосходит некоторого числа то пишут говорят, что а — приближенное значение числа а с точностью до А.

Пример 3. Найти приближенное значение числа с точностью до 0,01.

Решение. Округлив число а до сотых, получим (см. пример 1, г)

Абсолютная погрешность этого приближенного значения равна Значит, приближенное значение числа а с точностью до 0,01.

В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда. Например, найдя по таблице для числа значение 1,4142, мы должны понимать, что это — приближенное значение с точностью до 0,0001, т. е. что его абсолютная погрешность не превосходит 0,00005: