155. Методы решения тригонометрических уравнений.

Имеются два основных метода решения тригонометрических уравнений: 1) метод разложения на множители; 2) метод введения новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перенесем 1 в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим ее на множители.

Применим к формулу для суммы синусов и воспользуемся тем, что Тогда уравнение примет вид и далее Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:

Из уравнения находим

Из уравнения находим и далее

Таким образом, решение заданного уравнения таково:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Так как то уравнение можно переписать следующим образом:

и далее

Положив получим квадратное уравнение

Решая это уравнение, находим

Значит, либо откуда находим либо — это уравнение не имеет решений, так как

Ответ:

Метод введения новой переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т. е. уравнений вида (однородное уравнение 1-й степени), (однородное уравнение 2-й степени).

Рассмотрим случай, когда Разделим обе части первого уравнения на обе части второго уравнения на . В результате получим следующие уравнения, алгебраические относительно потому решаемые подстановкой

При однородному уравнению не удовлетворяют те значения при которых . Поэтому деление на обеих частей однородного уравнения в случае не приводит к потере корней.

Пример 3. Решить уравнение . Решение. Разделив обе части уравнения почленно на получим . Далее имеем откуда

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Разделив обе части этого однородного уравнения второй степени на получим . Далее положим тогда приходим к квадратному уравнению , откуда

Решив совокупность уравнений получим

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Имеем:

В полученном уравнении отсутствует член вида . Здесь делить обе части уравнения на нельзя, так как те значения х, при которых удовлетворяют уравнению (1), а потому деление на приведет к потере корней. Поступим иначе: разложив левую часть уравнения (1) на множители, получим

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения совокупности (2) находим

Разделив обе части однородного уравнения первой степени на имеем откуда

Итак, получаем две серии решений: