ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР

§ 19. Движение

75. Примеры преобразований фигур.

Преобразования фигур изучаются в курсе геометрии на плоскости и в пространстве. Если каждую точку данной фигуры на плоскости или в пространстве сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Приведем несколько примеров преобразований фигур.

1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Симметрия относительно точки определяется так. Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка. Точка называется симметричной точке X относительно точки О, если точки лежат на одной прямой и Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. На рисунке 203 точки X и симметричны друг другу относительно точки О.

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру при котором каждая ее точка X переходит в точку симметричную X относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 204 изображен симметричный относительно центра О.

На рисунке 205 изображены два куба, симметричные относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит

фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О — ее центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 206, а). Окружность с центром О тоже центральносимметричная фигура с центром симметрии О (рис. 206, б) Все перечисленные фигуры плоские.

В пространстве, так же как и на плоскости, много примеров центрально-симметричных фигур. Например, на рисунке 207 изображены такие фигуры: это куб, сфера, параллелепипед.

2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пусть I — фиксированная прямая (рис. 208). Точка называется симметричной точке X относительно прямой I, если прямая перпендикулярна прямой I и где О — точка пересечения прямых и I. Если точка X лежит на прямой I, то симметричная ей точка есть сама точка X. Точка, симметричная точке есть точка X. На рисунке 208, а точки симметричны относительно прямой I.

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X переходит в точку симметричную относительно прямой I, называется преобразованием симметрии относительно прямой I. При этом фигуры называются симметричными относительно

прямой I. На рисунке 208, б изображены окружности, симметричные относительно прямой I.

На рисунке 209 изображены две сферы, симметричные относительно прямой I.

Если преобразование симметрии относительно прямой I переводит фигуру F в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой 19 а прямая I называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 210, а). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 210, б). Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр (рис. 210, в). Все эти фигуры плоские.

В пространстве, как и на плоскости, много примеров фигур, имеющих оси симметрии. На рисунке 211 изображены такие фигуры: это прямоугольный параллелепипед, конус, правильная четырехугольная пирамида.

3. Симметрия относительно плоскости. Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X опускают перпендикуляр на плоскость а (О — точка пересечения его с плоскостью а) и на его продолжении за точку О

откладывают отрезок равный Точки X и называют симметричными относительно плоскости а (рис. 212).

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку симметричную X относительно плоскости а, называется преобразованием симметрии относительно плоскости При этом фигуры называются симметричными относительно плоскости

На рисунке 213 изображены две сферы» симметричные относительно плоскости а.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости плоскость а называется плоскостью симметрии.

На рисунке 214 изображены две плоскости симметрии сферы. Заметим, что у сферы таких плоскостей симметрии бесконечное множество. У куба также имеются плоскости симметрии. На рисунке 215 изображены две из них.

4. Гомотетия. Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 216). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч и отложим на нем отрезок и равный где — положительное число. Преобразование фигуры при котором каждая ее точка X переходит в точку построенную указанным способом, называется гомотетией относительно

центра О. Число называется коэффициентом гомотетии. Фигуры называются гомотетичными. На рисунке 216 четырехугольник гомотетичен четырехугольнику с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии

На рисунке 217 гомотетичен с центром О и коэффициентом гомотетии, равным 1,6.

На рисунке 218 изображены две гомотетичные сферы с коэффициентом гомотетии 2.

Пример. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его вершины лежали на ребрах, а четыре — на основании пирамиды.

Решение. Проведем любое сечение пирамиды с вершиной параллельное ее основанию (рис. 219). На этом сечении (квадрате) как на верхнем основании строим куб Взяв в качестве центра гомотетии вершину пирамиды, проведем полупрямые (на рисунке их нет). Точки А, В, С, D их пересечения с основанием пирамиды (точнее, с диагоналями основания) будут вершинами

одного из оснований искомого куба. Вершины А, В, С, D другого основания получим, если через проведем прямые, параллельные до пересечения с ребрами пирамиды.