23. Сравнение действительных чисел.
Для любых неравных действительных чисел а и 
можно сказать, какое больше, а какое меньше.
Говорят, что число а больше числа 
и пишут: 
если разность 
положительное число; если же разность а 
— отрицательное число, то говорят, что число а меньше числа 
и пишут: 
Согласно этому определению любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Для любых заданных чисел а и 
верно одно и только одно из отношений: 
С геометрической точки зрения неравенство 
означает, что точка а расположена на координатной прямой левее (правее) точки 
Знаки 
называются знаками строгих неравенств. Иногда используются знаки — знаки нестрогих неравенств; запись 
означает, что верно одно из двух: или число а меньше числа 
или число а равно числу 
Например, 
верные неравенства. Неравенства 
называются неравенствами одного знака; неравенства 
называются неравенствами противоположных знаков. Если числа а, 
с таковы, что 
то используется запись 
Пример. Сравнить числа 
.
Решение. Составим разность 
и найдем значение этой разности:
Разность отрицательна, поэтому 
24. Свойства числовых неравенств. Для любых действительных чисел 
выполняются следующие свойства:
2°. Если 
то 
(свойство транзитивности).
4°. Если 
— положительное число 
то 
Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Доказательство. Рассмотрим разность 
. Имеем 
По условию с — положительное число, а так как 
то и 
— положительное число. Но произведение двух положительных чисел есть положительное число, значит, с 
Таким образом, 
Но если разность 
— положительное число, то 
5°. Если 
и с — отрицательное число 
то 
Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
6°. Если 
то 
(если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство).
7°. Если 
— положительные числа, причем 
то 
(если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство).
Доказательство. Так как 
, то по свойству 
аналогично из 
следует 
Так как далее 
то по свойству 
10°. Если 
то для любого натурального числа 
выполняется неравенство 
