202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1.

Пусть бесконечная геометрическая прогрессия, у которой Рассмотрим сумму первых ее членов: Имеем (см. п. 199):

Вычислим Имеем (см. п. 201):

Итак, для бесконечной геометрической прогрессии, у которой существует где

Этот предел называют суммой бесконечной геометрической прогрессии и обозначают

Пример. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найти сумму первых 6 членов прогрессии.

Решение. Обозначим заданную прогрессию так:

По условию ее сумма равна 9, т. е.

Рассмотрим последовательность Каждый ее член получается из предыдущего умножением на т. е. это геометрическая прогрессия которой первый член равен знаменатель равен Так как то сумма новой прогрессии равна По условию эта сумма равна 40,5.

Значит, в итоге мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:

Выразив из первого уравнения и подставив результат во второе уравнение, получим откуда

Тогда Теперь можно найти сумму первых 6 членов прогрессии: