218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Говорят, что функция определенная на промежутке X, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка , принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из X выполняется неравенство

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах (рис. 113). Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума; впрочем, для практики достаточно того, что эта точка критическая.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции отрезке

1) Найти

2) Найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка

3) Вычислить значения функции в точках, полученных в п. 2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее

и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке которые можно обозначить так: уваяб, упшл.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке Решение. 1)

2) у существует при всех х. Найдем точки, в которых Имеем:

Отрезку [0; 6] принадлежит лишь точка

3) Вычислим значения функции в точках 0, 5, 6.

Наибольшим из найденных значений функции является число 225, наименьшим — число 50. Итак,