ГЕОМЕТРИЯ

I. Аксиомы геометрии

Основные свойства принадлежности точек и прямых

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Основные свойства измерения отрезков и углов

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Основные свойства откладывания отрезков и углов

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Существование треугольника, равного данному

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Основное свойство параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Основные свойства плоскостей в пространстве

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

II. Треугольники

с — стороны треугольника. — внутренние углы треугольника.

— внешние углы треугольника.

— высоты треугольника, опущенные из вершин треугольника на прямые, содержащие соответствующие противоположные стороны .

— медианы треугольника, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон .

— биссектрисы треугольника, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах .

— средняя линия треугольника.

Р — периметр треугольника. — полупериметр треугольника.

— радиус окружности, описанной около треугольника, — радиус окружности, вписанной в треугольник.

— площадь треугольника

Сумма углов треугольника

Свойства внешних углов треугольника

Неравенство треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Периметр и полупериметр треугольника

Свойства средней линии треугольника

Площадь треугольника

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник

— катеты, — гипотенуза, (теорема Пифагора);

III. Четырехугольники

Параллелограмм

— стороны параллелограмма.

— высоты параллелограмма, опущенные из вершин параллелограмма на прямые, содержащие стороны параллелограмма

— диагонали параллелограмма.

— углы параллелограмма, ,

Площадь параллелограмма

Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма

IV. Окружность и круг

— радиус окружности (круга),

— длина окружности,

— длина дуги,

— площадь круга,

- площадь кругового сектора,

— площадь кругового сегмента.

V. Правильные многоугольники

VI. Объемы и площади поверхностей тел

Наклонная призма 1. Объем наклонной призмы

где — площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, а — боковое ребро.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы

где с — периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, а — боковое ребро.

Площадь полной поверхности наклонной призмы

где — площадь боковой поверхности наклонной призмы, — площадь ее основания.

Прямая призма Объем прямой призмы

где — площадь основания прямой призмы, а — боковое ребро.

Площадь боковой поверхности прямой призмы

где — периметр основания прямой призмы, а — боковое ребро.

Площадь полной поверхности прямой призмы

где — площадь боковой поверхности прямой призмы, — площадь основания.

Прямоугольный параллелепипед Объем прямоугольного параллелепипеда

где — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

где — стороны основания, с — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

где — измерения прямоугольного параллелепипеда.

где а — ребро куба.

Пирамида

Объем пирамиды

где — площадь основания пирамиды, — высота.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности пирамиды

где — площадь боковой поверхности пирамиды, — площадь основания.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где — периметр основания правильной пирамиды, I — ее апофема.

Усеченная пирамида Объем усеченной пирамиды

где — площади оснований усеченной пирамиды, ее высота.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

где — площадь боковой поверхности пирамиды, площади оснований.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

где — периметры оснований, ее апофема.

Цилиндр

Объем цилиндра

где — радиус основания цилиндра, его высота. Площадь боковой поверхности цилиндра

где — радиус основания цилиндра, Н — его высота. Площадь полной поверхности цилиндра

где — радиус основания цилиндра, Н — его высота.

Конус

Объем конуса

где — радиус основания конуса, Н — его высота.

Площадь боковой поверхности конуса

где — радиус основания конуса, — его образующая. Площадь полной поверхности конуса

где — радиус основания конуса, его образующая.

Усеченный конус Объем усеченного конуса

где — радиусы оснований усеченного конуса, Н — его высота.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса

где — радиусы оснований усеченного конуса, — его образующая.

Площадь полной поверхности усеченного конуса

где — радиусы оснований усеченного конуса, — его образующая.

Сфера и шар

Объем шара

где — радиус шара.

Площадь сферы (площадь поверхности шара)

где — радиус сферы.

Объем шарового сегмента

где Н — высота шарового сегмента, — радиус шара.

Объем шарового сектора

где Н — высота соответствующего шарового сегмента, — радиус шара.