70. Пересечение прямой и окружности.

На рисунке 198 изображена окружность радиуса и прямая — расстояние от центра этой окружности до прямой а. Если принять центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную прямой а, за ось х (рис. 199), то уравнения окружности и прямой таковы: Решая полученную систему, найдем

Окружность и прямая имеют две общие точки, т. е. пересекаются, если (рис. 199, а); прямая и окружность имеют одну общую точку, т. е. касаются, если (рис. 199, б); прямая и окружность не пересекаются, если (рис. 199, в).

Пример 1. Окружность с центром в точке касается оси у. Пересекает ли эта окружность ось

Решение. Из условия следует, что радиус окружности равен 2, а уравнение имеет вид Далее задачу можно решить по-разному.

1-й способ. Для того чтобы окружность пересекла ось х, должно выполняться условие где — радиус окружности, расстояние от центра окружности до прямой. Так как то окружность не пересекает ось х.

2-й способ. При имеем что невозможно. Поскольку условие приводит к неравенству можем сделать вывод: окружность не пересекает ось х.

Пример 2. При каком значении с прямая касается окружности

Решение. Решим систему уравнений:

Преобразовав второе уравнение, получаем квадратное уравнение дискриминант которого равен Для того чтобы прямая и окружность касались, нужно, чтобы они имели единственную общую точку, а это значит, что полученное квадратное уравнение относительно у должно иметь единственное решение. Это будет в том случае, если откуда Прямые касаются окружности