221. Применение производной для доказательства тождеств.

Доказательство тождеств с помощью производной основано на следующей теореме:

Т.7.6. Для того чтобы непрерывная на промежутке X функция была постоянна на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная во всех внутренних точках промежутка была равна нулю (условие постоянства функции).

Пример. Доказать тождество

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную.

Имеем Значит, при всех потому — постоянная функция, . Осталось найти значение постоянной С. Для этого достаточно вычислить значение при любом значении например при Имеем:

Итак, потому Значит, справедливо тождество