61. Приведение рациональных дробей к общему знамена телю.

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).

Например, общим знаменателем дробей и служит многочлен так как он делится и на и на и многочлен и многочлен и многочлен Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный. Такой простейший знаменатель называют иногда наименьшим общим знаменателем.

В рассмотренном выше примере общий знаменатель равен Имеем

Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2) составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

3) найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби

Решение. Разложим знаменатели на множители:

В общий знаменатель надо включить следующие множители: и наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. Значит, общий знаменатель имеет вид

Дополнительные множители: для первой дроби для второй для третьей — . Значит, получаем: