191. Доказательство неравенств методом от противного.

Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нужно доказать истинность неравенства

Предполагают противное, т. е. что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1)

Пример 1. Доказать, что если то

Решение. Предположим противное, т. е. что для некоторого набора значений справедливо неравенство

Возведем обе его части в квадрат. Получим:

откуда и далее Но это противоречит неравенству Коши, составленному для неотрицательных чисел

Значит, наше предположение неверно, т. е. для любых неотрицательных значений справедливо неравенство

Пример 2. Доказать неравенство .

Решение. Предположим противное, т. е. предположим, что существуют такие для которых выполняется неравенство .

Воспользовавшись формулами получим откуда Поскольку на самом деле при любых значениях , то мы получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, а поэтому справедливо неравенство .