133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример 1. Упростить выражение где

Решение. Положим Тогда Нужно найти .

Известно, что значит, Но на отрезке - косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому

Пример 2. Вычислить

Решение. Положим Тогда Нужно вычислить

Имеем значит, Так как, далее, то откуда или

По условию значит, в интервале имеем Итак,

Пример 3. Доказать, что для любого х из справедливо тождество

Решение. Вычислим значение синуса левой и правой части проверяемого равенства:

Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции (без прорерки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значении аргумента, например, — но

Имеем Далее, , а поэтому . Итак, принадлежат одному промежутку монотонности функции Теперь можно считать, что тождество (1) доказано.

Аналогично можно доказать, что