Имеем
значит,
Так как, далее,
то
откуда
или
По условию
значит,
в интервале
имеем
Итак,
Пример 3. Доказать, что для любого х из
справедливо тождество
Решение. Вычислим значение синуса левой и правой части проверяемого равенства:
Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что
принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции
(без прорерки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значении аргумента, например, —
но
Имеем
Далее,
, а поэтому
. Итак,
принадлежат одному промежутку монотонности
функции
Теперь можно считать, что тождество (1) доказано.
Аналогично можно доказать, что