144. Область определения уравнения.

Областью определения уравнения называют множество всех тех значений переменной х, при которых и выражение и выражение имеют смысл.

Пример. Найти область определения уравнения:

Решение, а) Выражения определены при всех X. Значит, область определения уравнения — вся числовая прямая.

б) Выражение не определено при выражение — не определено при . Значит, область определения уравнения можно задать условиями:

в) Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия: Все эти неравенства справедливы при 2, т. е. область определения уравнения.

г) Логарифм имеет смысл лишь в случае положительного числа под знаком логарифма. Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: — откуда откуда Итак, (3; 5) — область определения уравнения.

Ясно, что корни уравнения должны принадлежать его области определения. Но иногда бывает так, что в процессе преобразований уравнения его область определения меняется (чаще всего она расширяется) и из найденных в итоге всех преобразований значений переменной одни значения принадлежат области определения уравнения другие не принадлежат. Тогда первые являются корнями уравнения, а вторые нет (это посторонние корни).

Так, при решении уравнения область определения которого задается условием мы перешли к уравнению областью определения которого является вся числовая прямая (область определения расширилась). Уравнение имеет корень который не принадлежит области определения исходного уравнения и, следовательно, является посторонним корнем.

Общий вывод таков: если в процессе преобразований уравнения его область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни. Поэтому все найденные значения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение

Решение. Если то в силу монотонности логарифмической функции (если например, то и именно Значит, от заданного уравнения можно перейти к уравнению

откуда находим Но при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область определения расширилась: в уравнении (1) она задается неравенством тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет

неравенству Итак, посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.