34. Теорема косинусов. Теорема синусов.

Т.1.44. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов).

В (рис. 97) по теореме косинусов

Из теоремы косинусов вытекает несколько утверждений.

1. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак когда угол острый.

Для случая, изображенного на рисунке 97, можно записать, что

2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Для параллелограмма, изображенного на рисунке 98, можно записать равенство .

Т.1.45. Стороны треугольника пропорциональны синусам I противолежащих углов (теорема синусов).

В на рисунке 99 по теореме синусов мы имеем:

Из теоремы синусов следует, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Если в треугольнике (рис. 99) , то если то

Пример 1. Для измерения высоты предмета основание А которого недоступно (рис. 100, а), выбирают некоторые точки F и В на прямой и измеряют базис Из точек F и В измеряют углы под которыми видна наивысшая точка С этого объекта. Доказать, что где — высота угломерного инструмента, .

Решение. Из треугольника по теореме синусов (Т.1.45) , откуда

Из треугольника получим

Итак,

Пример 2. По одну сторону реки отмечены две точки А и В. Расстояние Вычислить расстояние

между точками С и находящимися на другом берегу реки, если даны

Решение. Из по теореме косинусов

Из по теореме синусов

Из по теореме синусов