199. Свойства геометрической прогрессии.

1°. Формула члена геометрической прогрессии:

2°. Формулы суммы первых членов геометрической прогрессии:

Здесь если то

3°. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной геометрической прогрессии), связан с предыдущим и последующим членами формулой

Пример 1. Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой

Решение. Так как (свойство 1°), то получаем или

С другой стороны, по свойству 2°

Но (см. выше). Подставив это выражение в равенство (1), получим:

Зная найдем Имеем:

Пример 2. Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то новая тройка чисел будет представлять собой конечную арифметическую прогрессию. Если третье число этой новой тройки

увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти первую тройку чисел.

Решение. Обозначим искомые три числа

Используя обозначения для арифметической прогрессии и — для геометрической прогрессии, запишем условие задачи следующим образом:

Воспользовавшись характеристическими свойствами арифметической (свойство 3°, п. 197) и геометрической (свойство 3°, п. 199) прогрессий, получим соответственно:

Так как

Первое условие как тождественное равенство можно опустить. Мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными

Имеем далее:

Выразив через из второго уравнения системы: подставив это выражение вместо в первое уравнение системы, получим откуда находим

Следовательно, при при Значит, условию задачи удовлетворяют две тройки чисел: