ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

§ 16. Координаты на плоскости и в пространстве

65. Введение координат на плоскости и в пространстве.

Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точка пересечения этих осей О называется началом координат. Этой точкой каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую — отрицательной. На рисунке 188, а изображены оси х и у, точка О — начало координат.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу и ординату по такому правилу.

Через точку А проведем прямую, параллельную оси ординат (рис. 188, б). Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке Абсциссой точки А мы будем называть число абсолютная величина которого равна расстоянию от О до Это число положительное, если принадлежит положительной полуоси; отрицательное, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка лежит на оси ординат у, то полагаем

Ордината точки А определяется аналогично. Через точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 188, б). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке Ординатой точки А мы будем называть число абсолютная величина которого равна расстоянию от точки до 0. Это число положительное, если принадлежит положительной полуоси; отрицательное, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс, то полагаем

Координаты точки записываются в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например (на первом месте абсцисса, на втором — ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти I, II, III, IV (рис. 188, в). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются. В первой четверти они положительны, во второй — абсцисса отрицательна, а ордината положительна, в третьей — абсцисса и ордината отрицательны, в четвертой — абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 188, в).

Точки оси х имеют равные нулю ординаты точки оси у — равные нулю абсциссы Абсцисса и ордината начала координат равны нулю.

Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью Произвольную точку А этой плоскости с координатами х и у обозначают

Введенные на плоскости координаты х, у называются декартовыми по имени французского математика Р. Декарта (1596—1650).

Аналогично вводятся декартовы координаты в пространстве. Возьмем три попарно перпендикулярные прямые которые

пересекаются в одной точке О (рис. 189, а). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и у, называется плоскостью Две другие плоскости называются соответственно Прямые называются координатными осями или осями координат, точка их пересечения О — началом координат, а плоскости координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые. Одна из них называется положительной, а другая — отрицательной.

Если через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости (рис. 189, б), то она пересекает ось х в некоторой точке Координатой х точки А будет число, равное по абсолютной величине длине отрезка Оно положительное, если точка лежит на положительной полуоси, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка совпадает с точкой О, то Аналогично определяются координаты у и z. Точку А с координатами х, у, z обычно записывают так: .

Итак, каждой точке А пространства сопоставляют три числа х, у, z — координаты точки А в пространстве.

На рисунке 190, а точка В в пространстве имеет три координаты с, т. е.

Можно по трем числам найти положение точки в пространстве. Например, три числа задают положение точки С в пространстве (рис. 190, б).