30. Правильные многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. На рисунке 90 изображены правильные многоугольники: треугольник, четырехугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

На рисунке 91 многоугольник вписан в окружность, а многоугольник описан около окружности.

Т. 1.38, Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Радиус окружности, описанной около правильного -угольника со стороной а, находится по формуле

Радиус окружности, вписанной в правильный -угольник со стороной а, находится по формуле

Для правильного равностороннего треугольника

Для правильного четырехугольника (квадрата)

Для правильного шестиугольника

Пример. Вписать в данную окружность правильный восьмиугольник.

Решение. Два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Для построения правильного восьмиугольника необходимо каждую из этих частей разделить пополам, т. е. провести биссектрисы прямых углов, и полученные 8 точек окружности последовательно соединить отрезками. Получим вписанный в окружность восьмиугольник (рис. 92). Равенство сторон и равенство углов восьмиугольника следует из равенства всех восьми треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними (Т.1.15). Следовательно, полученный восьмиугольник правильный.