219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке.

Задача отыскания наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке, например на интервале не всегда имеет решение. Так, на рисунке 114 изображены графики непрерывных на функций. Функция достигает и наибольшего, и наименьшего значений, функция

достигает наибольшего значения, а наименьшего значения на нее нет, у функции на нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Если поставлена задача найти для непрерывной на функции то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка (см. п. 218). Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Пример. Найти наименьшее значение функции на интервале .

Решение. 1) Найдем производную данной функции:

если или . Но второе уравнение не имеет решений, так как из первого находим (см. п. 154). Из этих значений интервалу принадлежит лишь значение

Производная у не существует, если Но на это уравнение не имеет решений.

Итак, внутри интервала функция имеет лишь одну критическую точку

При приближении к концам интервала, т. е. при или при знаменатель дроби стремится к 0» а числитель соответственно к 9 или к 1. Значит, и в том и в другом случае (см. п. 206).

Поскольку при приближении к концам интервала значения функции неограниченно увеличиваются, наименьшее значение функция достигает в единственной критической точке, т. е. в точке . Итак,

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

1°. Если функция имеет в промежутке X только одну точку экстремума причем это точка максимума, то — наибольшее значение функции на промежутке X.

2°. Если функция имеет в промежутке X только одну точку экстремума причем это точка минимума, то — наименьшее значение функции на промежутке X.

Так, в рассмотренном выше примере функция имела в интервале лишь одну критическую точку При переходе через эту точку знаки производной меняются с на Значит, — точка минимума, а потому — наименьшее значение функции на интервале .