142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.

Пусть даны два уравнения

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно и корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением-следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение

и умножим обе его части на одно и то же выражение имеющее смысл при всех значениях х. Получим уравнение

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения . Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней.

Итак, если обе части уравнения умножить на выражение имеющее смысл при любых значениях х, то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение будет равносильно исходному, если уравнение не имеет корней. Заметим, что обратное преобразование, т. е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) путем деления обеих частей уравнения (4) на выражение как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений (в этом случае могут «потеряться» корни уравнения Например, уравнение имеет два корня: 3 и 4. Деление же обеих частей уравнения на приводит к уравнению — имеющему только один корень 4, т. е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения , т. е. уравнение — следствие уравнения (3).

Например, уравнение — имеет корень 4. Если обе части уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение имеющее два корня: . Значит, уравнение — следствие уравнения — При переходе от уравнения — к уравнению появился посторонний корень

Итак, при возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного. Значит, при указанном преобразовании возможно появление посторонних корней. Заметим, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к уравнению, равносильному данному.