12. Признаки параллельности прямых.

Пусть и — две прямые. Пусть — третья прямая, пересекающая прямые и (рис. 32, а). Прямая по отношению к прямым и называется секущей. Образованные этими прямыми углы часто рассматриваются попарно. Пары углов получили специальные названия. Так, если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой то углы и называются внутренними односторонними (рис. 32, а). Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой то углы и называются внутренними накрест лежащими (рис. 32, б).

Секущая образует с прямыми и две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов ( рис. 32, в).

Т. 1.8. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

На рисунке 32, в обозначены цифрами четыре пары углов. Теорема 1.8 утверждает, что если или то прямые а и параллельны. Теорема 1.8 также утверждает, что если или , то прямые а и параллельны.

Теоремы 1.6 и 1.8 являются признаками параллельности прямых. Верна и теорема, обратная теореме 1.8.

Т. 1. 9. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Пример. Один из внутренних односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, в 4 раза больше другого. Чему равны эти углы?

Решение. По теореме 1.9 сумма внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180°. Обозначим эти углы буквами тогда а известно, что а больше 0 в 4 раза, значит, тогда . Итак, .