46. Алгебраическая форма комплексного числа.

Используя введенные в определения сложения и умножения комплексных чисел, легко получить следующие равенства:

Условимся вместо писать просто а, а комплексное число (0; 1) обозначать буквой и называть мнимой единицей. Тогда равенство (1) принимает вид т. е.

а равенство (2) — вид

Запись называется алгебраической формой комплексного числа при этом число а называется действительной частью комплексного числа его мнимой частью.

Например,

Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом т. е. число имеет вид , то оно называется чисто мнимым; наконец, если у комплексного числа а мнимая часть равна нулю, то получается действительное число а.

Алгебраическая форма существенно облегчает выполнение арифметических операций над комплексными числами.

1) Сложение. Мы знаем, что

Выполнив сложение тех же чисел в алгебраической форме, считая а обычными двучленами, находим:

Сравнивая равенства (7) и (8), замечаем, что получился верный результат.

2) Вычитание. Мы знаем, что

Выполнив теперь вычитание тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, находим:

Сравнивая равенства (9) и (10), замечаем, что получился верный результат.

3) Умножение. Мы знаем, что

Выполнив теперь умножение тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, имеем:

Воспользуемся тем, что (см. равенство (5)); тогда . В результате находим:

Сравнивая равенства (11) и (12), замечаем, что получился верный результат.

4) Деление. Мы знаем, что если , то

Выполним теперь деление тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, а

— обычной дробью. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на (предполагая, что значение дроби от этого не изменится), находим:

Итак,

Сравнивая равенства (13) и (14), замечаем, что полнился верный результат

Подводя итоги, приходим к следующему важному практическому выводу: над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что Чтобы преобразовать в комплексное число дробь вида нужно и числитель, и знаменатель дроби умножить на число числа называются комплексно-сопряженными.

Пример 1. Вычислить

Решение. Применив формулу получим:

Пример 2. Вычислить

Решение.

Пример 3. Найти действительные числа х и у, такие, что выполняется равенство

Решение. Имеем Тогда заданное равенство можно переписать в виде

Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях то приходим к системе уравнений

из которой находим

Пример 4. Найти комплексные числа удовлетворяющие равенству

Решение. Будем искать комплексное число в виде Имеем:

Из последнего равенства следует, что

Эта система имеет два решения Значит,

Пример 5. Вычислить

Решение. Имеем (см. п. 58)

Значит,

Далее, имеем

Значит,