95. Обратная функция. График обратной функции.

Сравним две функции их графики изображены на рисунке 34. Обе они определены на отрезке и имеют областью своих значений отрезок Первая функция обладает следующим свойством: для любого из отрезка есть только одно значение из отрезка такое, что Геометрически указанное выше свойство означает следующее: любая горизонтальная прямая, пересекающая ось у между точками пересекает график функции только в одной точке. Вторая функция этим свойством не обладает: например, для значения прямая пересекает график функции в трех точках. Значит, в первом случае при каждом фиксированном из отрезка уравнение имеет только один корень во втором случае при некоторых у, например, при уравнение имеет более одного корня.

Если функция такова, что для любого ее значения

уравнение имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция обратима.

Так, функция , график которой изображен на рисунке 34, а, обратима, а функция график которой изображен на рисунке 34, б, необратима.

Если функция обратима, то, выразив х из формулы и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию.

Обратимся еще раз к рисунку 34. Сравнивая графики функций замечаем, что — возрастающая функция (и у нее есть обратная функция), тогда как функция не является ни возрастающей, ни убывающей (и у нее нет обратной функции). Возрастание или убывание функции обеспечивает существование обратной функции.

Т.3.3. Если функция определена и возрастает (или убывает) на промежутке X и областью ее значений является промежуток У, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (или убывает) на

Пример. Доказать, что у функции есть обратная, и найти ее.

Решение. Функция возрастает на всей числовой прямой, значит, у нее есть обратная функция. Чтобы найти обратную функцию, надо из формулы выразить х.

Получим Помецяв местами, получим

Это и есть искомая обратная функция.

Если точка принадлежит графику функции то точка принадлежит графику обратной функции. Поэтому график обратной функции получается из графика функции с помощью преобразования плоскости переводящего

точку в точку Этим преобразованием является симметрия относительно прямой

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции надо график функции подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой у — х (рис. 35, а).

Например, если , где — натуральное, то Поменяв х и у местами, получим . Графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (рис. 35, б).