117. График гармонического колебания

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой

Эта формула называется формулой гармонических или синусоидальных колебаний. Величина А называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина со называется частотой колебания. Чем больше со, тем больше число колебаний за единицу времени (число колебаний за единицу времени равно Наконец, а называется начальной фазой колебания. 71

Если, например, груз, висящий на пружине, вывести из положения равновесия, то он начнет совершать вертикальные колебания. Закон движения выражается формулой (1), где у — отклонение груза от положения равновесия, время. Тот же закон встречается в теории переменного электрического тока. При вращении прямоугольной рамки, сделанной из проводящего электрический ток материала, в магнитном поле по ней идет переменный ток. Если рамка вращается равномерно, величина тока меняется по закону гармонических колебаний (1).

Построим график функции Прежде всего преобразуем функцию к виду Построение графика этой функции выполним в несколько этапов.

1) Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы в точку

2) В системе построим график функции (при этом можно ограничиться одной полуволной).

3) Осуществив сжатие построенного графика к оси у с коэффициентом со, получим график

4) Осуществив растяжение последнего графика от оси с коэффициентом получим требуемый график.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Имеем Построение графика выполним в несколько этапов.

1) Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку

В системе нам нужно построить график функции

2) Строим график функции

3) Выполним сжатие графика к оси у с коэффициентом (т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции .

4) Осуществим растяжение последнего графика от оси х с коэффициентом 2. Полученный график является графиком функции (рис. 66).

На практике вместо сжатия, растяжения и параллельного переноса часто поступают иначе: отыскивают значения при которых заданная функция обращается в нуль, и значения, при которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Далее строят график по точкам.

Пример 2. Построить график гармонического колебания

Решение. Решим сначала уравнение

Имеем (см. п. 164) Дадим

параметру два значения: 0 и 1. При имеем при имеем Значит, точки и служат концами одной полуволны искомой синусоиды. Далее, серединой отрезка является точка в которой функция принимает максимальное значение, равное трем. Значит, — точка максимума (см. п. 217). Отмечаем на координатной плоскости точки и строим полуволну искомого графика (рис. 66, а). После этого строим график заданного гармонического колебания (рис. 66, б).