182. Неравенства с модулями.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а означает расстояние между точками а и на координатной прямой (см.

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Т.6.7. Если выражения при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства равносильны.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулями так.

Пусть нужно решить неравенство

Так как при любых х из области определения выражений справедливы соотношения то данное неравенство равносильно неравенству

Пример 1. Решить неравенство

Решение.

Первый способ. можно рассматривать как расстояние на кбординатной прямой между точками х и 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой (рис. 82) устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал

Второй способ. Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство Решая последнее неравенство, получим откуда находим, что — (см. п. 180 или п. 181).

Третий способ. По определению модуля числа

поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

Из первой системы получаем из второй системы — Объединив эти решения, получим промежуток

Пример 2. Решить неравенство . Решение. Имеем . Нам нужно указать на координатной прямой все такие точки х, которые удалены от точки —2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. С помощью координатной прямой (рис. 83) находим решения: .

Пример 3. Решить неравенство Решение. Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство равносильное данному. Преобразовав последнее неравенство, получим откуда находим:

Пример 4. Решить неравенство Решение. Если , то и, следовательно, неравенство примет вид Бели же то и неравенство принимает вид Таким образом, данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем:

Из первой системы находим вторая система не имеет решений. Значит, множество решений неравенства — луч